Писательница должна быть обязательно грамотной? Или вся работа по грамматике исключительно редактора!?

Определенный, "базовый" уровень владения языком обязательно должен наличествовать.
Например, в русском языке, конечно, есть слово "писательница", но употребляется оно только применительно к какому-то конкретному человеку, занятому писательским трудом, если это женщина.

В Вашем вопросе указания на конкретную даму отсутствуют, поэтому правильным построением предложения была бы такая последовательность слов: "Обязательно ли писатель должен быть грамотным? "

Да и второй вопрос "вывернут" не по-русски. Литературно и правильно сформулировать так: "Или всю работу по проверке грамматики выполняет исключительно редактор? "

Так что, надобно усердно учить великий и могучий и читать побольше классических произведений. Это совершенно необходимо для писателя, какого бы пола он ни был.

Удачи!