Могу ли я уволиться, будучи на больничном? И оплатят ли потом мне больничный?

Да, больничный вам оплатят. Ведь на момент начала болезни вы еще числились в компании. Кстати, не все знают, но обратиться за выплатой больничного бывшие работники могут и после увольнения. А именно, если болезнь наступила в течение 30 дней с даты расторжения трудового договора. Правда пособие тогда выплатят в размере 60% среднего заработка (ч. 2 ст. 7 Закона N 255-ФЗ).