Известно, что каждое метрическое
пространство имеет пополнение.
В доказательстве этой
теоремы в метрическом пространстве
классов фундаментальных последовательностей рассматривают подпространство классов содержащих сационарные последовательности,
якобы не совпадаюещее со всем пространством. Прошу объяснить,
почему.
Стационарная последовательность -- это такая последовательность, у которой все элементы, начиная с некоторого, одинаковы. Следовательно, она имеет предел, равный именно этому значению. Но в неполном метрическом пространстве не любая фундаментальная последовательность имеет предел! Рассмотрим любой класс фундаментальных последовательностей, который не имеет предела. Может в нем присутствовать стационарная последовательность? --Нет! Потому что значения ее
"дальних" членов должны были бы быть равны как раз значению предела, который в неполное пространство не входит и появится только после пополнения.
И вот что получается: любой класс фундаментальных последовательностей, у которых есть предел (естественно, общий для всех последовательностей этого класса) содержит стационарные последовательности. А любой любой класс фундаментальных последовательностей, у которых нет предела (в неполном пространстве) -- не может содержать стационарных последовательностей.
Понятно?
⇢