Как правильно писать "забвенью" или "забвению" и аналогичные слова?

Правильно - забвению, если только это не поэтическая речь.
Написание -ние (-ание, -ение) или -нье (-анье, -енье) в суффиксах отглагольных существительных связано или со смысловым различением, или со стилистической дифференциацией.

1) В смысловом отношении различаются: варение, печение, соление (процесс, то же, что «варка» , «выпечка» , «засол» ) - варенье, печенье, соленье (результат процесса, продукт) ; воскресение (действие по глаголу воскресить} - воскресенье (день недели) ; жалование (пожалование, присуждение) - жалованье (денежное вознаграждение за работу) и т. п.

2) Слова книжные пишутся с суффиксом -ние: воспитание, достижение, замедление, искоренение, оформление, процветание, разграничение, склонение, усыновление, формирование, членение, явление. Именно таким существительным чаще всего присуща канцелярская окраска (принятие, невыявление, недопущение) .
Слова обиходные пишутся с суффиксом -нье: барахтанье, беганье, воркованье, дерганье, кваканье, кряхтенье, тявканье, фырканье, харканье, хихиканье, чавканье, чириканье, шиканье, щелканье. Слова с суффиксом -нье используются главным образом в разговорной речи, а также в поэзии.

Забвенью

Согласно Google, первый вариант встречается в 200 раз реже.

Причина, вероятно, в кратком и резком звуковом переходе "ье". Краткость и резкость речи присущи низкому уровню интеллекта. Поэтому такой переход придаёт слову пренебрежительный и уничижительный оттенок ("дреколье", "враньё", "вороньё").

Поэтому его употребляют, в основном, в простонародной, профессиональной, бранной, поэтической и древнеисторической речи. Во всех остальных случаях предпочтительно уважительное "ие": "Валериевна", "забвение". Вроде