Можно ли по закону жить одному в другом городе в 16 лет?

Да, если ты студент дневного отделения

да, после 14 лет с согласия родителей можно жить отдельно

причем здесь какие то условия, чушь не надо писать. Законом предусмотрено что место жительства несовершеннолетнего старше 14 лет осуществляется с согласия родителей

С разрешения родителей.

Ребенок имеет право жить с родителями (ст. 54 Семейного кодекса РФ) , но не
обязан. Местом жительства детей до 14 лет признается место жительства их
родителей (ст. 20 Гражданского кодекса РФ) . После 14 лет - может жить в любом другом месте (паспорт уже есть :-)), но обязанность родителей содержать ребенка - до 18 лет остается.

Теперь про регистрацию:
Регистрация по месту пребывания несовершеннолетних граждан, не достигших 14-летнего возраста, осуществляется на основании документов, удостоверяющих личность находящихся вместе с ними родителей (усыновителей, опекунов) или близких родственников, а также свидетельства о рождении этих несовершеннолетних с выдачей свидетельства о регистрации по месту пребывания. (см. Пост Прав 713, п. 29), есть и исключение еще дляобучающихся по очной форме обучения в образовательных учреждениях среднего
профессионального и высшего профессионального образования, по месту пребывания
в общежитиях, они регистрируются на основании заявления установленной формы
заверенного должностными лицами образовательного учреждения (п. 29.1)