Могут ли меня взять на автомойку в июне, мне 13 лет, а августе исполняется 14?

Скорее всего нет, так как на работу берут с паспортом.

там большая ответственность, поцарапаешь случайно машину, кто будет отвечать

Возьми от родителей разрешение: Я Иванов Иван Иваныч, даю согласие на принятие моего сына на должность ...и т. д. , пусь напишет в конце про ответственность, что берет на себя. Приложи ксерокопии паспортов и все. С этой бумажкой ходи.

В августе могут.

не советую

не должны взять.