Конечно сохраняет. На страже его интересов - ООП, администрация больницы, прокуратура Из правил - 14. Регистрация граждан по месту пребывания в гостинице, санатории, доме отдыха, пансионате, кемпинге, больнице, на туристской базе, а также в ином подобном учреждении осуществляется по их прибытии администрацией этих учреждений на основании документов, удостоверяющих личность.
Приказ Федеральной миграционной службы (ФМС России) от 20 сентября 2007 г. N 208 г. Москва
"Об утверждении Административного регламента предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации" - Регистрация граждан по месту пребывания в психиатрических, туберкулезных и других больницах при длительном стационарном лечении осуществляется администрацией этих организаций в случаях, когда установить место жительства больных не представляется возможным или оно отсутствует. В Вашем случае и это не прокатывает - у него есть известное место жительства.
Разумеется без снятия с регистрации по постоянному месту жительства, больница - ни с кем не заключает договоры социального найма жилья - что бы у него появилось право быть постоянно зарегистрированным на её пощади, следовательно там можно временно находиться на время лечения - сколько бы долго оно не продолжалось.