Сдам оригинал в один ВУЗ, а значит в остальные ехать не надо? Или надо забирать заявление?

куда поступила-туда оригинал, а в остальные ехать не надо, кто за тобой автоматом приближается, а твои ксерокопии пусть им на память остаются

Заявление и ксерокопии забираешь по желанию, т. е. можно и не забирать.
Личные дела (с копиями документов) незачисленных абитуриентов хранятся в приемной комиссии шесть месяцев, а затем уничтожаются в установленном порядке.