Дети, которые взяты под попечительство до 18 лет, имеют ли право претендовать на наследсво лиц, которые их взяли?

Нет. Опекун не имеет прав на имущество опекаемого, опекаемый не имеет прав на имущество опекуна. Исключение - наследование по завещанию.
При усыновлении дети становятся родными, и тогда уже они могут наследовать.

Если они усыновлены ими

С чего бы это? Попечитель вообще может быть не родственником и не входить в круг наследников по закону. Усыновитель попечителем быть не может.
Если только по завещанию - завещать можно любому лицу...

По закону нет, если не будет доказано их иждивение не менее года, по завещанию да. При усыновлении никакого договора не заключается, это делается на основании решения суда. Усыновленные дети приравниваются к родным. т. е. точно так же наследуют после усыновителей по закону как и родные дети.

согласно статье 1148 ГК РФ
1. Граждане, относящиеся к наследникам по закону, указанным в статьях 1143 - 1145 настоящего Кодекса, нетрудоспособные ко дню открытия наследства, но не входящие в круг наследников той очереди, которая призывается к наследованию, наследуют по закону вместе и наравне с наследниками этой очереди, если не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении, независимо от того, проживали они совместно с наследодателем или нет.
2. К наследникам по закону относятся граждане, которые не входят в круг наследников, указанных в статьях 1142 - 1145 настоящего Кодекса, но ко дню открытия наследства являлись нетрудоспособными и не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении и проживали совместно с ним. При наличии других наследников по закону они наследуют вместе и наравне с наследниками той очереди, которая призывается к наследованию.
3. При отсутствии других наследников по закону указанные в пункте 2 настоящей статьи нетрудоспособные иждивенцы наследодателя наследуют самостоятельно в качестве наследников восьмой очереди.
Отсюда вывод: если подопечный был на иждивении умершего, он получает наследство

Усыновленные - да. Под опекой - нет.