При нажатии кнопки не втягивается стержень в электрозажигалки.

Отключи зажигалку, попробуй "втянуть" стержень вручную, проверь ещё раз. Не заработает- купить новую. Там могла сгореть (замкнуть) катушка- сам вряд ли перемотаешь.

я просто чистил стержень-якорь и внутренности катушки + тонкий слой графитовой смазки, помогало

Выбрось просто и новую себе купи!

Единственная причина - застревание. Либо из-за деформации трубки, либо из-за мусора в зазоре. Расшевели стержень вручную, нужно чтобы он двигался абсолютно гладко, без трения. Если там мусор, то шевели стержень, повернув зажигалку мордой вниз - мусор рано или поздно вывалится. А если деформация, то двигай стержень, одновременно сильно надавливая вбок. В разных направлениях. Стержень твердый, он может своим "телом" выправить примятости трубки и "расчистить" себе дорогу. Во время этой операции у стержня неизбежно появится куча боковых люфтов - но это как раз не помешает ему работать.

Выкини и купи пьезо

если стержень со временем сточился то можно его выйнять вручную и растянуть пружину, под стержень можно подложить кусок гвоздя (из гвоздя надо выпилять цилиндрик, острые края затупить напильником) . Принцип действия нажимаем на кнопку при этом ток подаётся на обмотку электромагнита из тоненькой проволки. Стержень поджатый пружиной втягивается у электромагнит и тем самым разрывает контакт и электромагнит выключается, когда стержень упирается вверх происходит подача питания на электромагнит который снова втягивает стержень и процес повторяется. Можно то место в которое упирается стержень выйнять ту (штучку) и вместо неё обогнуть куском жести чтобы стержень упирался об жесть.