Должны ли были ГАИ сообщить о штрафе? И есть ли шансы обжаловать и выйти сухим из воды?

По сути непорядочный инспектор может выписать Вам штраф и ничего Вам об этом не сказать и к сожалению, такие вещи происходят. То, что у Вас нет копии протокола, может говорить не о том, что Вам его не дали, а о том, что Вы его потеряли или выкинули. Вы можете сказать, что да, Вас останавливали, Вы предоставляли свои документы по требованию сотрудника, но после Вам их вернули и Вы поехали дальше. Никто никакого протокола при Вас не писал, соответственно Вы ничего не подписывали. По почте Вам так же никаких извещений не приходило. Если всё так, то Вам не обжаловать надо, а писать иск в прокуратуру на сотрудников ГАИ, с подозрением на служебный подлог или мошенничество. С обжалованием Вы ничего не докажете! А на будущее смело берите с сотрудника ГАИ расписку о том, что тогда-то и во столько-то Вы были остановлены сотрудником таким-то по причине такой-то, которая не была подтверждена и претензий к Вам инспектор ГАИ такой-то не имеет. Как говорится, без бумажки мы какашки. Но и это нас не защитит от недобросовестных стражей порядка, которые могут, имея базу, выписать штраф человеку, зная только номер машины ради какого-то плана. Вы не адвокат и не юрист. Если такая ситуация возможна теоретически, значит это сотрудники обязаны доказывать, что этого не было на практике, а не Вы. Вот и пусть доказывают, что они вообще Вас останавливали. На самом деле при наших законах можно уйти от любой ответственности.