Сейчас модно говорить слово "априори". В каких случаях его нужно употреблять, чтобы выглядеть умным? Что оно значит?

Употребляй всегда.

IMHO?

То, что общепринято и считается за базовую истину.

Лучше книгу умную почитай априори.

априори по большому или по маленькому?

хз... я его вообще не употребляю....

Переводится как "до опыта" или "заранее". Т. е. мнение, которые было пока что-то не случилось.
Примеры,
"В концертные залы вдруг повалили люди, до этого ни разу там не бывавшие, которые априори считали, что Баха, Шостаковича, Моцарта слу́шать скучно" - т. е. люди считали, что классиков слушать скучно еще до того как они их услышали.
"Почему вы априори считаете его преступником? " - т. е. он еще ничего не сделал, чтобы можно было так думать.

Априори если не добежишь до туалета, то штаны придется стирать. Это ясно даже тем, кто до сих пор всегда добегал. поэтому и априори.