1) do you suggest me to read - вообще грамматически неправильное предложение, так как инфинитив с частицей to после suggest не употребляется. Никогда.
2) Бывает ли сослагательное наклонение в вопросе? - Конечно, бывает!
What do you suggest I shoud do? - пример из Мёрфи
3) Только у вас не subjunctive вовсе.
Форм Subjunctive после определённых глаголов и прилагательных бывает две:
1) bare Infinitive - I suggest you / he/she/READ.
Вопрос - What book about stereochemsitry do you you suggest I read? (I, а не ME, если берёте me, тогда герундий должен идти, а не subjunctive)
2) should + Infinitive - I suggest you/he/she should read.
Вопрос - What book about stereochemsitry do you you suggest I/he/they should read?
Should здесь не несёт модальности, это просто одна из форм Subjunctive.