докажите если целое число а не делится на Не делится на 5, то а⁴-1 делится на 5

a = 5k + r, где 1<=r<=4,
тогда
a^4 - 1 = (a^2 - 1)*(a^2 + 1) = (a-1)*(a+1)*(a^2 + 1) = (5k + (r-1) )*(5k + (r+1))*( 25*(k^2) + 10*k*r + r^2 + 1),
если r=1, то первый множитель дел-ся нацело на 5 => все число делится на 5,
если r=4, то второй множитель делится на 5 => все число делится на 5,
если r=2, то r^2 +1 = 4+1 = 5, и третий множитель делится на 5,
если r=3, то r^2 + 1 = 9+1 = 10 и третий множитель делится на 5.
Т. о. мы перебрали все возможные остатки, при этом число (a^4 - 1) делится нацело на 5.