Докажите тождества: a) sin(arccos x) = корень1-x² б) sin (arctg x) = x / корень1+x²

Преврати синус в косинус в квадрате. А косинус арккосинуса х=х вот и получишь слева такое же выражение, как и справа

а) из условия задачи x принадлежит [-1;1]
arccos(x) меняется от нуля до пи, значит синус от арккосинуса всегда положителен, правая часть так же всегда положительна, поскольку это корень, и определена везде, на отрезке [-1,1];
значит мы можем возвести обе части равенства в квадрат.
sin^2(arccos x) = 1-x^2
добавим в обе части равенства -1, и в левой части используем тождество sin^2(a)+cos^2(a) = 1
sin^2(arccos x) - (sin^2(arccos x) + cos^2(arccos x) ) = 1-x^2 - 1
Раскроем скобки
-(cos(arccos x))^2 = -x^2
Косинус от арккосинуса х это при x принадлежит [-1;1]. что и требовалось
б) обозначим arctg(x) = a, тогда x = tg(a), 1 + x^2 = 1 + tg^2(a) =1 + (sin^2(a)/cos^2(a)) = (cos^2(a)+sin^2(a)/cos^2(a)) = 1/cos^2(a).
Значит наше равенство перепишется в виде sin(a)= tg(a)/(1/cos^2(a))^(1/2)
Вспомним что a = arctg(x) => a принадлежит (-Pi/2,Pi/2) а значит cos(a)>0
следовательно (1/cos^2(a))^(1/2) = 1/cos(a)
следовательно sin(a) = tg(a)/(1/cos(a)) = tg(a)*cos(a) = sin(a)
Что и требовалось доказать.