если жильцы выезжают, то последний месяц они должны жить бесплатно. на каком основании

я понимаю, когда они въезжали - они внесли вам за месяц вперед. Неужели вы хотите с них взять ещё раз?

..если, когда они въезжали заплатили за первый и последний месяц проживания ( так иногда оговаривают в договоре)

на основании договора
в котором указано, что был внесен платеж за первый и ..последний месяцы
если указано
почитайте договор

Чаще всего в договоре на аренду квартиры хозяин берет специальный взнос, залог (который обычно равен месячному платежу за аренду) за имущество, находящееся в квартире (на случай, если вдруг что-нибудь пропадет, при этом всё это имущество также описывается в договоре) . По окончании аренды хозяин должен вернуть этот залог, если с имуществом всё в порядке.
На практике получается, что вместо того, чтобы возвращать эти деньги, квартиросъемщик просто не платит за последний месяц (для него это проще, но для хозяина не очень хорошо, если он не уверен в сохранности своего имущества) . Думаю, у Вас такой случай. (если Вы хозяин, то рекомендую потребовать заплатить этот залог, Вы имеете на это полное право - после выезда жильцов вернете).

Мы так вперед на месяц платим

Да кто вам такое сказал, обычно платят месяцем вперёд. Оплатил живи, не оплатил, уматывай.