подскажите, если кот сам по себе приходит в ваш дом к чему бы это?

Он не заходит, потому что в доме живет другой кот. У котов и собак есть понятия о территории, своей и чужой.

да пусть живет. не гоните его и помогайте всяко. вообще в таком случае принимают кота как родного. не просто пришел. обычно неприятность забирает грядущую. как родного примите. и любите. увидите сами что он друг ваш более чем кто иной.