Что означает "на попечении у царских «мам» "? И кто такие "Царские мамы"?

Не мама, а мамка.

До пятилетнего возраста мальчики-царевичи находились в женских руках и жили на женской половине дворца, в особых комнатах.

Мать могла сколько угодно ласкать и «тетешкать» ребенка, играть с ним и на него любоваться, но вся будничная забота о малыше ложилась на специально приставленный и довольно многочисленный женский штат. Матери-царице не по статусу было даже вскармливать младенца: этим занималась только специально отобранная кормилица.

В этом отношении русская традиция не отличалась от западноевропейской. В Европе XVI–XVIII веков чем знатнее была женщина, тем меньше она должна была заниматься собственными детьми.

Русский детский придворный штат (его называли чином) состоял из мамки, множества нянек, кормилицы, казначеи, постельниц, горничных, прачек, швей и т. д. Входила в штат и принявшая ребенка повивальная бабка.

Мамкой царевича назначалась «боярыня честная, вдова старая» , которая исполняла роль старшей воспитательницы. Все другие женщины находились у нее под командой, а сама она лично отвечала за жизнь и благополучие младенца. Должность эта была почетной, и выбирали на нее представительниц лучших фамилий.
Мамка получала изрядное жалованье — 100 рублей в год (для сравнения: комнатной бабке платили полтора рубля в год и отсыпали 6 четвертей хлеба: овса и ржи) . Свое звание и жалованье она сохраняла пожизненно.

В широком смысле этого слова, мамками называли вообще весь женский контингент, обслуживающий маленького царевича.

Подробнее - Вера Бокова Детство в царском доме. Как растили наследников русского престола