Могу ли я в своем телефоне установить имя вместо своего номера, чтобы при моем звонке абонент знал кто ему звонит?

зачотный плагин, продаваемый провайдером-на уровне юзера-нет

В мобильной сети такой CLIP не прокатит, а вот в проводной цифровой сети очень даже может быть, но никто не заморачивается с такой ерундой.
Ты еще про SMS в проводной сети спроси. Они как бы не видны, но они есть!

Нет, это может сделать тока абонент с той стороны, сохранив твой номер.

Нет. Это делаптся либо на приёмной стороне (телефон И имя занесены в список контактов) , либо такая услуга - она называется CallerID - преюоставляется оператором.