как найти решение задачи Коши: у''+y'=0 y'(0)=1 y(0)=1

линейное однородное с постоянными коэффициентами.
строим характеристическое уравнение, К^2+К=0, находим его корни К = 0; К = -1. По корням пишем общее решение У = С1 + С2*Е^(-Х) .
Далее подставляем начальные условия в решение и его производную. откуда получаем систему
1 = С1 + С2
1 = - С2
отсюда С2 = -1; С1 = 2 и в итоге У = 2 - Е^(-Х)

Ты сначала реши уравнение, Потом составляй систему из двух уравнений и решай. Находи константы интегрирования и подставляй в общее решение. Получишь функцию, которая удовлетворяет начальным условиям. Уравнение решается заменой Эйлера у=exp(kx). Григорий за тебя всё уже решил