Проблема с использованием 1-го замечательного предела

Question

При нахождении предела помощью правила Лопиталя-Бернулли в данном примере: 
lim {[1-x*cos(x)/sin(x)]/x^2} при x-->0 
в случае сокращения x и sin(x) как 1-го замечательного предела (т. е. как эквивалентных бесконечно малых) и в случает простого последовательного многократного применения правила Л-Б получаются разные ответы, (1/2 и 1/3 соответственно) , причем правильный ответ 1/3. 
Почему нельзя сократить синус и х?

Вениамин Крыжовник · Accepted Answer

Все дело в то, что это совершенно разные ряды начиная со второго члена, 
Как раз эти коэффицтенты и получаются 
x*cos(x)/sin(x) = 1-1/3*x^2-1/45*x^4+O(x^5) 
cos(x) = 1-1/2*x^2+1/24*x^4+O(x^6)

Мария Николаева · Answer

Потеряете величины более высоких порядков малости

Эрик · Answer

Дело не в Лопитале, а в ошибочном применении эквивалентных 
бесконечно малых. Когда х стремится к 0, то: 
 
1-x*cos(x)/sin(x)=(sin x-x*cos x)/sin x = 
 
=(x-x^3/6+...-x+x^3/2-...)/sin x ~ (x^3/3)/sin x ~ x^2/3 
 
lim f(x) = lim {[1-x*cos(x)/sin(x)]/x^2} =lim (x^2/3)/x^2=1/3. 
 
При пользовании "замечательными" пределами типа (sin x)/x --> 1 
(или, по другой терминологии, эквивалентными бесконечно малыми 
величинами, как sin x и x), необходимо помнить, что на самом деле 
эти величины не равны, и это видно из разложения в ряд Тейлора: 
 
sin x=x-x^3/6+x^5/120-...
cos x=1-x^2/2+x^4/24=... 
 
Поэтому в РАЗНОСТЯХ эквивалентных величин приходится 
выписывать не только первые члены разложений, но оставлять 
главные члены поправок.