какие права мы имеем?

Отец ребенка сможет зарегитсрировать его без согласия кого-либо. Вы на размен подать в суд не сможете, так как принудительный обмен предусмотрен только для муниципального жилья

ребенка регистрируют без согласия собственника
а вот вас могут выгнать и выселить

На данный момент за нарушение правил регистрации штраф и вам и маме.
Это хорошо прочищает мозги.
Ребенка регистрировать еще рано, когда родится - отец обязан будет зарегистрировать его по своему месту жительства, согласия мамы никто не будет спрашивать. В противном случае еще штрафы.

Вы живете в квартире женщины, с сыном которой сожительствуете. Если ваш сожитель признает ребенка, то может зарегистрировать его по месту своей регистрации если захочет. У вас лично есть право приходить в гости.
Регистрация не порождает права собственности на квартиру.
Принудительно разменивать жилье, находящееся в собственности физлица, закон не позволяет.
Мнение - мать вашего сожителя золотая женщина. Если бы меня коснулась такая ситуация, то бежала бы любительница размена дальше, чем видела.

Любой из родителей имеет право прописать своего ребенка по месту своей регистрации.
Но стоит ли начинать с этого свою семейную жизнь? Вы даже описываете ситуацию: с нами живет его мама.. Это вы живете в квартире его мамы, и сын живет в квартире мамы, которая может легко под зад коленом выгнать вас обоих. И правильно сделает! Менять вы ничего не можете.

Собственник рулит тему! Вы на птичьих правах!

Если отец ребенка прописан в квартире, то Вы можете прописать малыша без согласия бабушки