подскажите! после смерти матери, являвшейся владелицей кооперативной квартиры, какое право будет иметь ее сын,

Если бы квартира была муниципальной - естественно приоритет, т. е. ему одному и досталась бы. А вот частная собственность делится на всех наследников первой очереди провну. Даже если некоторые из них в глаза не видели наследодателя, не говоря уж про то, что они вместе с ним не жили. Изменить равность долей можно только в двух случаях:
1. Если кто то из наследников напишет в присутствии нотариуса ДОБРОВОЛЬНЫЙ отказ от наследства.
2. Если кто то из наследников через суд будет признан НЕДОСТОЙНЫМ наследником, а соответственно лишен правв на наследство.
А вообще, если нет завещания, то кто успеет подать заявление на претендование на наследство в нотариальную контору в течение шести месяцев сос дня смерти, между теми и будет распределено, а осальные в пролете. Единственно, если есть несовершеннолетний ребенок, то нотариус сам может заинтересоваться отсутствием заявления от его представителя ( родитель, опекун и т. п. ) и даже связаться с ними. Но даже если он этого не сделает, то когда этот ребенок станет совершеннолетним он сможет подать в суд на пересмотр наследства. Так, что лучше сразу все вопросы уладить.

кто прописан и кто платить НЕ ИМЕЕТ значение, если после смерти ВСЕ ТРОЕ придут к нотариусу.

Права всех детей будут равными: 1/3 квартиры каждому. Регистрация и квартплата роли не играют.

иметь будет