Лично я бы не очень доверял "турагентству" с таким названием, потому что то, о чем Вы написали - это не туризм. Work and Travel - это программа, по которой студенты из других стран могут работать в США во время летних каникул. А Au pair - это совершенно другая международная программа, по которой человек живет в семье и получает какие-то деньги за домашнюю работу (обычно это уход за детьми) . И там, и там есть возможность еще и отдыхать, но первична все-таки работа. И, кстати, не всех желающих по ней принимают (для Au Pair в США, например, нужно иметь опыт работы с детьми и хороший уровень английского) .
Ответы на Ваши вопросы зависят от законодательства той страны, в которую Вы едете. Но скорее всего - нет, Вы не сможете получить долгосрочную рабочую визу. Дело в том, что в развитых странах они выдаются обычно лишь высококвалифицированным специалистам. Но квалифицированный специалист не поедет работать нянькой за минимальную зарплату. А WaT вообще доступна только для студентов.
Если найдете там мужа, то остаться, конечно, сможете (либо сразу сменить статус, либо выехать и получить иммиграционную визу - тут надо смотреть конкретные правила) . Только придется доказывать, что брак не фиктивный.