XY=X+Y решите целыми числами

Ответ вам уже дали, но, судя по комментам Вам нужно строгое решение, поэтому привожу его:

1. Предполагаем, что у = 0, тогда сразу получаем одно решение х=у=0
2. Предполагаем теперь, что у не равен нулю.
Тогда мы можем обе части уровнения поделить на у. Получаем:
х = х/у + 1.
Теперь вспоминаем, что по условию х - целое. Т. к. 1 - целое, то и второе слагаемое - х/у должно быть целым, т. е. х нацело делится на у, или по другому х = m*у, где m - целое число.

Точно так же (предполагая, что х - не равен нулю и деля первоначальное уровнение на x) получаем, что у = n * x, где n - целое число.
Таким образом имеем систему:

x = m * y
y = n * x

Подставляя выражение для х во второе уравнение получаем:
y = n * m * y,
т. е.
n * m = 1

Отсюда понятно, что или m = n = 1, или m = n = -1 (это достаточно очевидно, но если и тут нужно строгое док-во, то, замечая, что ни одно из чисел не может быть равно 0 и предполагая, что хотя бы одно из чисел по модулю больше 1, получаем, что его произведение на любое другое целое число не равное нулю будет не меньше его самого, т. е. опять по модулю больше 1, значит произведение или больше 1 или меньше (-1), т. е. никак не равно 1, значит оба числа по модулю равны 1, т. е. равны или 1 или -1)

Если m = n = 1, значит x = y
Если m = n = -1, значит x = -y

Рассматриваем каждый из этих случаев в отдельности, подставляя в исходное уровнение.
а) x = y
Тогда имеем y * y = 2 * y
Случай y = x = 0, мы уже рассмотрели в самом начале, поэтому спокойно делим обе части на y и получаем, что y, а значит и х = 2
b) x = -y
Тогда -y*y = -y + y, т. е. y = 0, но это решение было рассмотрено ранее, поэтому оно нам уже не интересно.

Все. Других решений нет!

Таким образом, действительно существует всего два решения (0,0) и (2,2)