Напряженность неоднородно заряженного полудиска

Question

В трехмерном пространстве на плоскости Oxy есть плоская пластина в форме полудиска с вырезанной сердцевиной, внутренний и внешний радиусы кривизны R1 и R2 соответственно. Она обладает зарядом с поверхностной плотностью sigma(r) = a * (r/R1)^2, где a=const, r - расстояние от центра кривизны. Найти напряженность (как вектор) эл. поля, создаваемого пластиной, на расстоянии z перпендикулярно плоскости пластины (перпендикуляр выходит из центра кривизны) . 
 
Даже не E, а dE у меня получается равным неберущемуся интегралу. Хотя задача определенно имеет решение в элементарных функциях.

)))) · Accepted Answer

Хм. Проверьте свои dE :) Чтобы не таскать за собой всякие 4*pi*eps0, условимся работать в СГС, а утраченный коэффициент допишите потом сами. 
 
Ось Z торчит так, как в условии сказано, а за X примем ось симметрии полудиска, причем пластинка лежит в области x<=0 (чертеж приводить не буду, уж простите) . Тогда заряд элемента пластинки будет 
dq(z)=a*(r/R1)^2*dS, где площадь элемента пластинки dS=rdrdф (угол ф 0<=ф<=pi отсчитываем "внутри" пластинки от ее прямой "стороны", совпадающей с осью Y). Квадрат расстояния от этого элемента до точки наблюдения равен L^2=r^2+z^2. Далее, угол Ф (не перепутайте ф и Ф) между вкладом элемента пластинки в суммарный вектор напряженности и осью Z будет таким, что cosФ=z/L, а sinФ=r/L. Очевидно, что у суммарного вектора напряженности будут только компоненты Ez и Ex, а компонента Ey=0 благодаря симметрии задачи. 
 
Что мы имеем с гуся.. . 
 
dEz=dq(z)*cosФ/L^2=a*z/R1^2*dф*r^3*dr/(r^2+z^2)^(3/2). Угловая часть интеграла дает pi. Первообразная по радиальной равна (r^2+2z^2)/L. Окончательную сборку с учетом всех коэффициентов оставляю Вам :) 
 
dEx=dq(z)*sinф*sinФ/L^2=a/R1^2*sinф*dф*r^4*dr/(r^2+z^2)^(3/2). Угловая часть интеграла дает 2. Первообразная по радиальной равна (1/2)*[(r^3+3r*z^2)/L-3z^2*ln(2(r+L))]. Не забывайте, что всюду L(r,z). 
 
Так что всё, вроде, интегрируется в элементарных функциях. Проверьте: вдруг я накосячил в формулах, а Mathematica - в интегрировании (но это уж - вряд ли) . 
 
Удачи!