Дана функция z = xy / (x+y)
Нужно показать, что
x (dz/dx) + y (dz/dy) = z
Нашла производные. Получились y^2 / (x+y)^2 и x^2 / (x+y)^2 соответственно
Если складывать, выходит сумма квадратов деленая на квадрат суммы.
(x^2 + y^2) / (x + y)^2
Как его превратить z = xy / (x+y) ума не приложу.
Или тут что-то еще нужно сделать?
Производные найдены совершенно правильно. Только не нужно их складывать между собой. Нужно просто доказать равенство в условии задачи. Т. е. в выражение x (dz/dx) + y (dz/dy) нужно подставить вместо dz/dx и dz/dy их выражения через x и y, полученное выражение преобразовать, упростить. Если всё сделано правильно, то должна получиться функция z, заданная формулой в условии.
Если это сделать, то должно получиться так* x * y^2 / (x+y)^2 + y * x^2 / (x+y)^2. Это выражение легко упрощается путём сложения дробей с одинаковыми знаменателями, вынесением в числителе xy за скобки и сокращением на x+y. В результате должно быть xy/ (x+y), а это и есть функция z по условию. Таким образом, x (dz/dx) + y (dz/dy) = z, что и требовалось.
⇢