имеют ли право забирать машину на штраф стоянку если она стоит на тратуаре

Такие машины нужно сразу сжигать или взрывать, но это незаконные методы, а по закону их ОБЯЗАНЫ эвакуатором отвезти на штрафстоянку.

Да.
Нарушение правил стоянки.

Должны. Обязаны просто. По тротуару люди должны ходить.