почему по-новому пишется через дефис

Потому что есть такое правило в русском языке-слова, оканчивающиеся на-ому, -ему с предлогом"по"пишутся через дефис

Чтобы узнать, как пишется "по новому", нужно обратить внимание на контекст, в котором используется даннное слово. Только исходя из контекста, можно понять полный смысл слова, а значит, верно определить, как его писать.

Например:

Учитель заставил нас переписывать по-новому те слова, которые были написаны. (значение тут - заново, сначала, повторно. По-новому - это наречие).
Котенок прошелся по новому пиджаку грязными лапами. (значение тут - прилагательное: по пиджаку какому? - по новому).
Теперь смотрим и находим отличия:

В первом предложении "по-новому" пишется через дефис, так как это наречие (как?), а «по» с наречиями на -ому, -ему, -цки, -ски, -ьи пишется только через дефис;
Во втором - "по новому" пишется раздельно, так как "новому" (какому?) - прилагательное с предлогом "по", а предлоги со словами пишутся раздельно.

"По" - приставка. Эта приставка пишется через дефис, от корня...

Через дефис пишутся наречия:
На -ому (-ему) , -и (-ски, -цки, -ки, -ьи) с приставкой по-: по-своему, по-новому, по-русски, по-немецки, по-птичьи.
Исключения: поэтому, потому, посему, по одному.

Потому-что это правила русского языка.
По-русски, по-быстрому тоже пишется через дефис.

Это наречие. Чтобы отличить его от предлога с прилагательным. Приставочно-суффиксальный способ словообразования.

Наречия: слитное, раздельное и дефисное написание

Сложные наречия, образованные сочетанием предлогов, перешедших в приставки, и полных или кратких прилагательных и местоимений, порядковых числительных, повторением одного и того же слова, могут писаться слитно, раздельно или через дефис.

Через дефис пишутся наречия:

На -ому (-ему) , -и (-ски, -цки, -ки, -ьи) с приставкой по-: по-своему, по-новому, по-русски, по-немецки, по-птичьи.
Исключения: поэтому, потому, посему, по одному.
Образованные сочетанием приставки в- (во-) и порядкового числительного: в-сотых, во-первых.
Образованные повторением однокоренных или синонимичных слов: еле-еле, тихо-тихо, любо-дорого, точь-в-точь, подобру-поздорову.