x^4 + 4x - 1 = 0. как решить? какую теорему и формулы применять?

Можно так:
x^4+4x-1=0
x^4+2x^2+1 - 2x^2+4x-2=0
(x^2+1)^2 - 2(x-1)^2=0
разность квадратов:
(x^2+1-sqrt2(x-1))(x^2+1+sqrt2(x-1))=0
Два квадратных уравнения решите сами.
В первом дискриминант отрицательный,
а во втором корни х=(-sqrt2+-sqrt(4sqrt2-2))/2;
или после сокращения на sqrt2:
x=(-1+-sqrt(2sqrt2-1))/sqrt2. Это ответ.