Как правильно? father joke или father's joke?

Father's joke - притяжательный падеж.
Или, если глагол, то Father jokes/is joking.

А что вам интересует?
Первое у вас - это прилагательное - отцовская.
А второе - поссесив. Папы.
В принципе одно и то же.

father joke - можно понять, что эта шутка является отцом кому/чему-нибудь