Объясните как довести до полного квадрата

Вообще-то z^2+3z+2 будет z^2+3z+2.25-2.25+2.
А 2.25 берётся оттуда, что мы к выражению z^2+3z+2 прибавляем 2.25. Но поскольку мы не имеем права так делать, то должны тут же вычесть 2.25. В результате этого выражение z^2+3z+2 не изменилось никак.
Вот аналогия. У меня было 100 рублей. Я выиграл в игровом автомате ещё 50 рублей. Потом тут же проиграл 50 рублей. Сколько денег у меня теперь? Правильно. Как было 100 рублей, так и осталось.
Вот и тут также. Мы прибавляем число и тут же его отнимаем, получится всё равно то, что было раньше.
Но так мы можем прибавить и отнять любое число. Почему мы решили взять именно 2.25? Чем оно нам так понравилось?
Дело в следующем. Есть формула квадрата суммы: a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2. Пробуем применить её тут. Буква a вроде есть - это переменная z. Вроде 2ab - это 3z. Как тогда подобрать b, чтобы так и было?
Если a=z, то 2zb = 3z или, сокращая на z
2b = 3. Или b = 1.5.
Осталось только b^2, т. е. 1.5^2 = 2.25
Похоже, что это - те самые 2.25
Вот если бы в исходном выражении вместо 2 было 2.25, было бы всё здорово, мы бы разложили его по полному квадрату. Но увы.. .
Менять условие задачи мы не можем, зато можем использовать ловкий трюк с прибавлением и отниманием 2.25. Так, уже лучше.
Имеем
z^2 + 2*z*1.5 + 2.25 - 2.25 + 2 = (z^2 + 2*z*1.5 + 1.5^2) - 2.25 + 2
То, что в скобках - и есть полный квадрат. Без всяких церемоний пользуемся формулой для квадрата суммы (учитывая, что a = z, b = 1.5)^
(z+1.5)^2 - 2.25+2
Числа справа от скобки можно просто сложить.
(z+1.5)^2 - 0.25.
Ещё есть такая формула как разность квадратов:
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
Здесь уже будет a = z+1.5 (тогда a^2 = (z+1.5)^2)
А тогда b^2 = 0.25 или b = 0.5
Значит
(z+1.5)^2 - 0.25 = (z+1.5)^2 - 0.5^2 = (z+1.5-0.5)(z+0.5+0.5)
Внутри каждой из скобок просто складываем числа, какие можно сложить:
1.5 - 0.5 = 1
1.5 + 0.5 = 2
Значит будет (z+1)(z+2)
Итак, длинное выражение z^2 + 3z + 2 превратилось в произведение двух более коротких (z+1)(z+2)
Вот как-то так.. .
Удачи!