Как выделяется квадрат двучлена из квадратного трехчлена?

6 берется из разложения второго коэффициента
на третье место ставится его квадрат

и сразу столько же вычитается.

чтобы равенство не нарушилось.

пример в объяснительном тексте учебника. конечно. неудачный.

разберем упр.

с выделением х"2-10х+10=(х"2-2*5х+25)-25 +10=(х-5)"2-15

х"2-6х-2=(х"2-2*3х+9)-9-2=(х-3)"2-11

большого применения этот способ не имеет и уж в экзаменационных заданиях практически не встречается

3х² - 36х + 140
3 вынесли за скобки, чтобы проще было
3(х²-12х+140/3)

Итак, рассматриваем "скобку":
х²-12х+140/3

на последний член - число - внимания не обращаем

х² - 12х. . -подумаем, частью какого выражения "в квадрате" он является

(а+в) ² = а² + 2ав+в²

у нас а² = х²

2ав= - 12х = 2·(-6)х
то есть в= - 6

Значит, х²-12х. .
является частью квадрата числа:
(х-6)²

по общей формуле
(х-6)² = х² - 2·6х + 6²=х² - 12х + 36

сравним полученный квадрат с исходным выражением
и преобразуем исходное выражение, прибавив
для этого недостающее число от разложения (х-6)²
и тут же вычтем это число:
3(х² - 12х + 140/3) =
=3(х²-12х+36-36+140/3) =
= 3[(х² - 12х+36)-36+140/3)] =
=3[(х-6²)-36+140/3]=
=3(х-6)² - 36·3 + 140 =
=3(х-6)² - 108+140 =
=3(х-6)²+32

Квадрат двучлена равен квадрату первого числа плюс (минус) удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат ВТОРОГО числа.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
По второму члену в скобке определяем, что второе число в искомом двучлене должно быть 6. Вот мы и прибавляем 6 в квадрате, но чтобы величина выражения не изменилась и отнимаем 6 в квадрате:

3[(x^2-2*x*6+6^2)-6^2+140/3]=3[(x-6)^2-108/3+140/3]=3[(x-6)^2+32/3]=3(x-6)^2+32.
(Значок ^ - возведение в степень),