бывает ли во множественном числе слово багаж

Багаж не пальто, конечно. Пальто – существительное несклоняемое, поэтому во всех числах и падежах звучит и пишется одинаково, а БАГАЖ склоняется.

Так как БАГАЖ – СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ СОБИРАТЕЛЬНОЕ (обозначает множество предметов как одно целое), то, по определению, МНОЖЕСТВЕННОГО ЧИСЛА У НЕГО БЫТЬ НЕ МОЖЕТ. Толковые словари тоже не фиксируют наличие у этого слова множественного числа (у имеющих множественное число существительных в грамматических пометах словари указывают родительный падеж этого числа, а иногда и именительный с родительным).



Вместе с тем и школьная программа, и толковые словари от жизни отстают, причём намного, так как анализ литературных произведений показывает, что во множественном числе это слово употреблялось ещё в позапрошлом веке:
◆ В заключение, обыскав наши БАГАЖИ (весьма, впрочем, деликатно) и удостоверившись по нашим простодушным физиономиям, что отныне все марки и пфенниги, сколько бы таковых у нас ни оказалось, мы не токмо за страх, но и за совесть обязываемся сполна расходовать на пользу германского отечества, объявили нас от митирогнозии свободными. (М. Е. Салтыков-Щедрин. «За рубежом»)
◆ На другой день Даву выехал рано утром и, пригласив к себе Балашева, внушительно сказал ему, что он просит его оставаться здесь, подвигаться вместе С БАГАЖАМИ, ежели они будут иметь на то приказания, и не разговаривать ни с кем, кроме как с господином де Кастро. [Л. Н. Толстой, «Война и мир»).

В последнее время появились морфологические словари, в которых даются формы множественного числа существительного БАГАЖ:



Думаю, множественное число уместно, когда собирательное существительное БАГАЖ употребляется в значении конкретного и синонимично словам ЧЕМОДАН, БАУЛ.