Фактически ничем, разве только областью употребления слов. Может быть олимпийский чемпионат и олимпийское первенство, школьный чемпионат и первенство школы. Но "дворовый чемпионат" уже не употребляется, а "первенство двора" слух не режет, можно употреблять.
Чемпионат интереснее.
В чемпионате играют команды супер-лиги, т. е. лучшие клубы страны, а в первенстве выступают команды высшей лиги и ниже.
В чемпионате определяется чемпион!
ЧЕМПИОНАТ отличается от первенства в первую очередь более высоким статусом, уровнем организации, победитель чемпионата становится чемпионом, а победитель первенства не получает звание чемпиона. К участию в чемпионате допускаются только лучшие спортсмены (например от уровня КМС или МС - согласно регламента чемпионата). - К ПЕРВЕНСТВУ допускаются спортсмены всех уровней подготовки включая новичков. - Победители первенств, как правило получают пропуск на чемпионат, т. е. допускаются к соревнованиям более высокого уровня.