В остроугольном треугольнике ABC угол С = 45гр. АD и AK-высоты. Докажите, что DK=корень ((DB^2+DC^2)/2)

Треугольник BKC прямоугольный и равнобедренный (2 угла по 45).
Треугольник ADC такой же.
Поэтому:
CK = CB / sqrt(2)
CD = CA / sqrt(2)
и треугольник CKD подобен треугольнику CBA и
KD = AB / sqrt(2)

Из треугольника ADB:
AB^2 = DB^2 + AD^2
AD = DC из треугольника ADC:
AB^2 = DB^2 + DC^2

KD = AB / sqrt(2)
KD = sqrt(DB^2 + DC^2) / sqrt(2)
KD = sqrt((DB^2 + DC^2) / 2)