как составить уравнение эллипса если известны его координаты фокуса и эксцентриситета? F1(-2;3/2),F2(2;-3/2), E=sqrt(2)/2

Середина отрезка между фокусами есть центр эллипса. В данном случае - это точка (0,0) - начало координат.
Прямая, соединяющая фокусы имеет угловой коэффициент, равный (-3/2)/2 = -3/4, следовательно, чтобы эта прямая совместилась с осью ОХ, нужно повернуть её на угол ф = arctg(3/4), выполнив преобразования координат

x' = x * cos ф + y * sin ф
y' = -х * sin ф + y * cos ф,

если tg ф = 3/4, то cos ф = 4/5, sin ф = 3/5 (египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5)

Тогда

x' = 4x/5 + 3y/5
y' = -3x/5 + 4y/5

Расстояние между фокусами эллипса при повороте осей координат не изменяется и равно корень из ((2 - (-2)^2 + (-3/2 - 3/2)^2) =
корень из (16 + 9) = корень из 25 = 5.
Поскольку фокусы оказываются лежащими на оси OX', то эта ось содержит большую ось эллипса. Зная расстояние между фокусами 2с = 5 (или с = 2,5) и эксцентриситет Е, можно определить большую полуось эллипса по формуле a = c/E = 2,5 / ((корень из 2)/2) =
= 2,5 корней из 2. Квадрат большой полуоси равен 6,25*2 =12,5. Квадрат эксцентриситета равен 1/2, квадрат малой полуоси вычисляется по формуле b^2 = a^2*(1 - E^2) = 12,5*(1-1/2) = 6,25
Значит в новой системе координат, уравнение искомого эллипса будет выглядеть так:
x'^2 / 12,5 + y'^2 / 6,25 = 1
А в исходной системе координат уравнение получается путём подстановки выражений для новых координат через старые
(4x/5 + 3y/5)^2 / 12,5 + (4y/5 - 3x/5)^2 / 6,25 = 1
Можно умножить обе части уравнения на 25:
2* (4x + 3y)^2 + 4* (4y - 3x)^2 = 25
И раскрыть скобки
2*(16x^2 + 24xy + 9y^2) + 4*(16y^2 - 24xy + 9x^2) = 25
32x^2 + 48xy + 18y^2 + 64y^2 - 96xy + 36x^2 = 25
68x^2 - 48xy + 82y^2 = 25
Всё...