Математика, дробная степень Как можно приближенно оценивать "вручную" значения выражений вроде 10^(4.5), 2^(3,2)?

Есть такая штука -Логарифмическая линейка, там все вручную

10^4=10000 10^4.5=10000*10^0.5~=10000*3.2~=32000 - на самом деле 31622, но как видишь не очень-то я и ошибся.
2^3.2=8*2^0.2=8*1.1=8.8 - тоже почти угадал.

Надо знать, чему равен корень из 10 или корень пятой степени из 2. Просто знать (это полезно) или уметь найти с помощью подручных средств.
А дльше понятно. Степень "4,5" - это 4 + 0,5. То есть 10 в степени 4,5 - это 10 в четвёртой (понятно чему равно? ) умножить на корень из 10. Точно так же 2 в степени 3,2 - это 2 в кубе умножить на корень пятой степени из 2 (что не сильно больше 1, но всё ж чуть больше).

Запомним : ln(2) = 0.693

Можно написать разложение : 2^(3+x) = 8+8*ln(2)x

И приближенно : 2^(3.2) = 9.1;
Точно 9.189586840

То есть смысл в том, чтобы знать точно опорное значение и
затем поправка (Точные значения так и получают, только берут достаточное количество членов ряда)
Это в общем случае ...в частных, как у Вас возможны и другие методы ...но они не годятся для других чисел)

Лучше всего - выучить мантиссы десятичных логарифмов (хотя бы для 2, 3 и 7) и антилогарифмы (хотя бы через 0,1), знать их свойства.

10^0.1 = 1.2589
10^0.2 = 1.2589²
10^0.3 = 1.2589³
и т. д.

lg 2 = 0.301
lg 3 = 0.477
lg 7 = 0.845

Например, 2^3.2=10^0.96, а т. к. lg 9 = 2 lg 3 = 0.954, то 2^3.2 ≈ 9.