Объясните пожалуйста, как можно возвести число например в степень 2,3 без калькулятора, как найти log 3 по основанию 5

5^2,3=25×5^0,3. Остается сосчитать 5^0,3. Логарифмируем. 0,3ln5. Считаем логарифм пяти. Извлекаем из пяти дважды квадратный корень. Это можно сделать на бумажке. Получим ln5=4ln1.4953; ln(1+0.4953)=0.4953-(0.4953)²/2+(0.4953)³/3-(0.4953)⁴/4+...количество членов ряда определяется точностью наших вычислений. Итак, 0,3ln5 вычислен. Потенцируем 5^0,3=е^(0,3ln5)=1+(0.3ln5)/1!+(0.3ln5)²/2!+..опять - до достижения нужной точности. И результат остается помножить на 25.

И нигде не нужен калькулятор - всё можно на бумажке, даже извлечение квадратного корня.

Спрашивается, откуда эти таблицы брались? Естественно. тот же Брадис вычислял пользуясь свойствами (в данном случае) степеней. a^m*a^n=a^(m+n). a^m/a^n=a^(m-n) и т. д.

"Раньше без калькулятора" считали исключительно по таблицам. В основном таблицам логарифмов. Когда весь счёт универсализировали таблицами Непера это был серьёзный прорыв. Считать сложные функции теперь быстро мог любой, освоивший сложение и вычитание. Как вариант - логарифмической линейке, но это лишь те же таблицы в более ёмком виде, нанесённые на палку. Любой логарифм можно свести к натуральным, например log_5 (3) = ln(3)/ln(5)
насчёт степеней не в курсе, но скорее всего их сводили к числам с основанием 10, например
a^2.3=10^(2.3*lga)
число 2.3*lga считали по таблицам, ну а для степеней 10 тоже были таблицы. тем более целочисленные здесь не нужны, достаточно для степеней от 0 до 1.
Были более экстравагантные способы, которые все давно забыли, но все с разного вида таблицами. Что касается непосредственного составления таблиц то там приходилось выкручиваться. В ряд разлагать и считать каждое значение вручную слишком долго, и составители придумывали массу приближённых способов, как это всё сразу сделать побыстрее. Могли наверное и по очень точному чертежу составлять или хотя бы сверять свои результаты, во всяком случае совсем в давние времена делали именно так. Такие таблицы получались неидеальными, сейчас при проверке компьютером они нередко показывают весьма существенные ошибки в последних цифрах.

Легким движением руки берешь таблицы Брадиса и все заверт....