Помогите, прошу! Как можно без калькулятора возвести число в четырехзначную степень?

Последняя цифра при умножении на три на каждом шаге начнет с какого-то момента меняться циклично. Вот, пройдите несколько первых шагов, чтобы понять, как устроен этот цикл.

Это и с калькулятором не возведешь. Окошек не хватит.

Несколькими способами.
С помощью (таблицы) логарифмов. От таблицы зависит с какой точностью.
Есть способ (алгоритм) уточнения, если приближенно получено - сложно описать в двух словах.
Умножениес, но не тупым умножением 2015 раз, а записать 2015 как двоичное и дальше действовать так: составить таблицу из степеней 3 0, 2, 4, 8, ..Для чего достаточно 9 умножений (в квадрат каждый раз).
3^17 -- 17dec=10001b
3(s1), 9(s0), 81(s0), 6561(s0), 43046721(s1)
Там, где 1 в дв представлении, на то и умножаем на соотв степень (для 17 будет 3* 43046721=129140163)

2015*lg(3)=2015*0,477=961
10 в степени 961
1 и 961 нулей

А последняя цифра 3, 9, 7, 1, 3, и т. д. каждая 4 степень 1
2015/4 в остатке 3 - значит 7

2. 1 степень числа 3 - окончание 3
2-9
3-7
4-1 получаем 4 варианта
делим 2015 на 4 получим 503 остаток 3
наш вариант 3 окончание 7

В "докалькуляторную" эпоху эти проблемы легко решались с использованием логарифмической линейки и/или логарифмических таблиц. Помните, вероятно что:
Lg a^b = b*Lg a
Вот по этому принципу логарифмировали, множили столбиком или в уме и потенцировали (т. е. выполняли обратную логарифмирования операцию).
Собственно для этого и были созданы логарифмические таблицы...
http://www.dpva.info/guide/guidemathematics/logarifm/

Тренируйтесь в логарифмическом счислении. Сначала порядок будете угадывать, потом пару знаков мантиссы.