Как это может быть корень из дробной степени? Ну вот ладно кубический, квадратный, n-степенный, но как это дробностепенный?

я не понял, корень из двух тебе представить не проблема, а степень 1/2 вызывает когнитивный диссонанс?
,если нет, то в чём проблема с корнем 3/2? взял корень квадратный и три раза помножил само на себя
так же нет проблем со степенью 2,3
это взял корень десятой степени и 23 раза помножил само на себя
нет ни каких проблем с представлением рациональных степеней

2^x = exp(x*ln2)
где exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +.
это своего рода аналитическое продолжение целых степеней на всю R.

Представить это сложно, но после курса матана к этому можно привыкнуть. И этого достаточно.

Дробь в показателе, выполняющая роль корня, это правило из категории правил «по соглашению».
Эта категория особая, так как все приёмы счёта в ней, не соответствуют математической логике и основным правилам операций.
Зачем нужны такие правила, вопрос отдельный и безблагодатный))

В данном конкретном случае, создатели правил «дробной степени», вообще прыгнули выше головы, поскольку использовали два 'диаметрально' противоположных действия в одном:
Ибо извлечение корня – это строго обратная степени операция.

Смысл такой оптимизации – стало удобней оперировать со степенными значениями в цепочках вычислительных примеров, поскольку становится ҡратно проще их умножать, делить и т.д., это вышла обычная работа с дробями.

Но, как уже упоминалось, логически – дробная степень это суррогат корня.
Если вы попробуете действовать по основным правилам, то при возведении в дробную степень, например двойку в одну вторую, то после знака "равно" у вас получится незаконченное выражение, в виде «единица, үмножить, на».