Почему корни бывают только кубические и квадратные?

Специальные слова в языках придумываются только для наиболее частых явлений. Редкие явления обычно описывают сочетанием из подходящих слов.

Бывают корни любых степеней, просто у них нет собственных названий - на каждую циферку отдельного не напасешься. А квадратный и кубический имеют свои названия потому, что они чаще всего используются, поскольку мы живем в трехмерном пространстве.

Отнюдь. Бывают и четвертой, и пятой степени, и даже двухсполовинной ;)
Примеры: http://oldskola1.narod.ru/ShV08/ShV0811.htm

Корень есть возведение в степень, обратную той, корень из которой мы берём, то есть n√x=x^(1/n), что означает, что операция взятия корня ничем не отличается от операции возведения в степень, а потому ограничения те же - никаких, можно возводить в любую степень, потому брать любой корень, то есть бывают любые корни. Квадратный и кубический - единственные, которые имеют своё отдельное название, не более.

А вам какие ещё нужны?

Ещё бывают овощные.)

Потому что вторая степень называется квадратом числа, а третья - его кубом.
Скажите, как по-другому называется четвёртая степень?
Тогда узнаем, как назвать корень четвёртой степени. И т.д.

Специальные названия для корней второй и третьей степеней унаследованы ещё от древних греков, а Евклид геометрию любил, объемы n-мерных кубов вычислял при n <= 3, да и его "Начала", в отличие от прочих аналогичных античных трудов, не утеряны.

корень может быть любой степени,даже дробной....

Дальше будут корень четвёртой степени, пятой и т.д.