как ДОКАЗАТЕЛЬНО(!) расставить в порядке возрастания ряд следующих чисел: квадратный корень из 2....

Начнем с того, что 4=2^2 значит 4^1/4=2^1/2
Дальше можно просто сравнить числа попарно:
2^1/2 V 3^1/3
{возведём обе части в степень 6}
2^3 V 3^2
8 V 9
8 < 9, значит и 2^1/2 < 3^1/3
Теперь 2^1/2 V 5^1/5
{а здесь возведём обе части в степень 10}
2^5 V 5^2
32 V 25
…
Ответ: 5^1/5 < 2^1/2 = 4^1/4 < 3^1/3

Прологарифмировать....

А вы производные знаете? - Если да, то можно напустить их на эту задачу. Ваши числа - это значения функции y = x^(1/x) при определённых значениях х. Продифференцируем эту функцию, чтобы найти ее экстремум. Поскольку х содержится и в основании, и в показателе, применим логарифмическую производную:

ln(y) = ln(x^(1/x)) = (1/x) * ln(x) = ln(x) / x

(ln(y))' = (ln(x) / x)'

y'/y = (1 - ln(x)) / x

y' = y * ((1 - ln(x)) / x) = x^(1/x) * ((1 - ln(x)) / x)

Приравнивая производную нулю, находим точку, подозрительную на экстремум:

y' = 0 ===>
1 - ln(x) = 0 ===>
x = e.

По изменению знака первой производной около x = e видим, что при x = e = 2.718... функция y = x^(1/x) имеет МАКСИМУМ. Это значит, что при удалении от этой точки в обе стороны функция УБЫВАЕТ. Поэтому справа от этой точки

y(3) > y(4 > y(5) > y(6) и т. д. , то есть
3^(1/3) > 4^(1/4) > 5^(1/5) > 6^(1/6) и т. д.

Слева от этой точки есть только два целых значения х, для которых имеем:

2^(1/2) > 1^(1/1).

Из этих двух точек вас интересует только одна: х = 2. Как соотносятся между собой значения функции справа и слева от экстремума, наше исследование ничего не говорит. Но Ирина вам уже объяснила, что при х = 2 и при х = 4 значения функции равны друг другу. Этим всё исследование и заканчивается. Получаем тот же ответ, что и у Ирины, только теперь у нас есть возможность мгновенно ответить на аналогичный вопрос и для других чисел, например, корень шестой степени из шести и так далее.

Например, с помощью калькулятора на компьютере в инженерном виде. Там есть кнопочка x^y. Первым числом вводишь основание, вторым - степень. Степень "квадратный корень" = 1\2, соответственно, кубический - 1\3 и т. д.

задача эквивалентно этому: при любом натуралном n сравнит числа n^(n+1) и (n+1)^n. или же сравнит числа n и (1+1/n)^n. мы знаем что (1+1/n)^n<3 (lim(1+1/n)^n=e) (это легко доказат: (1+1/n)^n<1+1/1!+1/2!+..+1/n!<2+1/2^2+...+1/2^n<3 ) значит n>(1+1/n)^n при любом n>2. а при n=2 имеем 2^3<3^2. значит корен2(2)<корен3(3)>корен4(4)>корен5(5)>...>коренn(n)>...