Как на бумаге, без калькулятора вычислить квадратный корень какого-либо числа?

А, вот, давайте извлечем корень из 729. Число разбивают справа налево по два разряда. Извлекаем корень из 7. Ближайшее целое - это 2. Ставим его квадрат под семеркой. 7-4=3. Сносим тройку вниз и приписываем оставшиеся две цифры = 329. Двойку, которая справа удваиваем и пишем слева перед 329 и рядом ставим точку. И под ней ставим точку. Теперь на место этих точек надо поставить одно и то же число, так чтобы 4Z x Z давало 329. Это семерка. Итого корень равен 27.

А что, в школе не учат???? Я до сих пор квадратный корень на бумажке извлекаю, хотя прошло почти 50 лет.. .
Да и логарифмической линейкой помню как пользоваться...

(Из книги Гусева В. А. , Мордковича А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 1990. — 416 с. )

Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа m, причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться следующим правилом.

1. Разобьем число m на грани (справа налево, начиная с последней цифры) , включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом следует учесть, что если m состоит из четного числа цифр, то в первой (слева) грани будет две цифры; если же число m состоит из нечетного числа цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней показывает количество цифр результата.

2. Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра — первая цифра результата.

3. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число A. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую наибольшую цифру x, чтобы произведение числа (запись означает 10 * a + x) на x не превосходило числа А. Цифра x — вторая цифра результата.

4. Произведение числа на x вычтем из числа A, припишем к найденной разности справа третью грань, получится некоторое число B. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число b. Теперь подберем такую наибольшую цифру y, чтобы произведение числа на y не превосходило числа B. Цифра y — третья цифра результата.

Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется последняя грань

Вот как эту задачу в 1637г описывает в своей "Геометрии" Рене Декарт:
Если нужно извлечь квадратный корень из [отрезка] GH, то я прибавляю к GH,
по продолжению, прямую FG, являющуюся единицей, и, разделив [отрезок] FH
в точке О на две равные части, описываю из центра О окружность FОH;
если затем провести от точки G к точке О прямую, перпендикулярную к FH,
то GJ будет искомым корнем.

Есть таблицы Брадиса.

Геометрическое извлечение квадратного корня

- рисуете окружность диаметра (x+1)
- проводите диаметр
- отмеряете по диаметру 1 от одного края диаметра
- проводите перпендикуляр
- длина перпендикуляра до перечесения с окружностью = корень из x

критерий точности: чем руки прямее, тем точнее

Можно и без таблицы. Схема получения квадратного корня числа (а) с любой желаемой степенью точности такая:
1) берешь корень на глаз (b);
2) делишь данное число (а) на выбранный корень (b);
3) если полученный результат (c) сильно отличается от выбранного корня (b), то находишь их среднее арифметическое (a+b)/2;
4)если нас устраивает полученная степень точности то ВСЕ, иначе повторяем пункты 2, 3 с уже новым числом (с) , и так до позеленения (пока не достигнешь желаемой точности) .
Схема нудная и энергозатратная, зато позволяет добиться любой желаемой точности, в отличие от таблиц Брадиса. Но на практике таблица все же намного практичнее.

Офигеть сколько способов