можно ли поставить на учёт авто в другом городе своего региона

Можно. В любом отделении региона своей регистрации.
"24.4. Проведение регистрационных действий в отношении транспортных средств, собственниками (владельцами) которых являются физические лица, осуществляется в пределах субъекта Российской Федерации в любом регистрационном подразделении Госавтоинспекции. "