можно передать опекунство внука бабушке по заверенной доверенности, мать не лишена род, прав, я на севере рабатаю

Можно опеку установить по заявлению родителей, заявление пишется либо в органе опеки и попечительства, либо заверяется у нотариуса. К заявлению необходим весь пакет документов, как и для опеки над детьми-сиротами и детьми, оставшимися без попечения родителей. В "опеке" дадут перечень. Такая опека не подразумевает выплату пособий - ни единовременного, ни ежемесячных на содержание опекаемого, так как у ребенка есть родители (или единственный родитель) , которые обязаны его содержать. Но опекун сможет на законных основаниях представлять интересы ребенка. В Вашем случае это надо сделать, думаю, обязательно.

Если родители из зв работы или учебы вынуждены работать удаленно от ребенка. то можно оформить временную опеку на бабушку или на кого то еще. кому вы доверяете ребенка.
такая опека оформляется в органе опеки по заявлению родителя. Опекунское пособие не выплачивается.
Можно так же оформить доверенность у нотариуса на представление ваших интересов в вашем отсутсвии п вопросам ребенка. То есть ваша мама в таким случае будет как бы принимать решения от имени родителя

У ребенка есть отец и он может его воспитывать.

Не опеку, а просто доверенность. Опека дается, если родителей нет, они сидят, они лишены родительских прав. Опека оплачивается. Поэтому никто просто так платить не будет.

может ли бабушка оформить опекунство над внуком, не лишая дочь родительских прав, (отца у внука нет) если дочь уехала на заработки в другой город, и нет возможности взять ребёнка с собой.? и будут ли платить пособия?