Есть вопрос,за ответ заранее благодарна всем кто откликнется.

Блин, давненько я таких задачек не решал :-(
Честно говоря, сначала я решал эту задачку так же, как и Юлия, но вскоре закрались смутные сомнения в полноте этого решения.

Дело в том, что уравнение касательной можно найти по такой формуле:
y = f(a) + (x – a)* f '(a) , где f(a) - значение функции при х=а, а f '(a) - значение производной этой функции при том же х, а - это значение координаты х в точке касания.
Для функции y = x² + bx + c производная имеет вид f ' = 2х + b

Теперь подставим известные данные в формулу касательной:
у = 2 + ( х - 2 )*( 4 + b ) = 2 + 4х - 8 + хb - 2b = 4х - 6 + хb - 2b

т. к. в точке касания значения самой функции и значение функции касательной равны, то по условию задачи

х = 4х - 6 + хb - 2b
3х - 6 + хb - 2b = 0
3( х - 2 ) + b( х - 2 ) = 0
( 3 + b )( х - 2 ) = 0
3 + b = 0
b = -3 => формула принимает вид y = x² - 3x + c
подставляем в неё значения координат х и у в точке касания и находим с:
2 = 2² - 3 * 2 + с
с = 2 - 4 + 6
с = 4