В магазине клиент пытался расплатиться картой, принадлежащей другому лицу.

Милая! Это не Ваш уровень! В таких случаях либо зовите менеджера, либо жмите тревожную кнопку. Если нет ни того ни другого - собирайте дядек, братьев и подключайте участкового ...

Недавно оформляла терминалы на свою фирму и прошла обучение по работе с ними. Как объяснила сотрудник банка, что в данном случае закон двоякий - с одной стороны разрешает покупателю не предъявлять документ, удостоверяющий личность, но с другой стороны обязывает (или рекомендует точно не помню) продавцов проверять документы. Так что вы обезопасили себя и свой магазин от недобросовестного покупателя

А как вы узнали, что карта принадлежит другому лицу?
Просто мне интересно.. .
Или он вам сразу сказал, что это не моя карта?

Я поясню немного, правила эквайринга говорят следующее, покупатель подтверждает покупку по карте вводом пин кода либо подписью.
Т. е. фактически вы должны были принять карту по пин коду, если карта полосатая, то по подписи. После чего сверить подписи на карте и на чеке, если они не совпадают, то потребовать удостоверения личности (в РФ только паспорт) , если человек отказывается его предоставить и говорит, что его у него нет, вы должны вызвать старшего, чтобы тот разбирался, а так же сообщить службе безопасности/охране.
По таким случаям банк информируется об операции 3м лицом и идёт прозвон СБ владельца карты, который либо подтверждает факт передачи карты либо говорит, что это мошенник.
Кстати факт передачи карты, засвидетельствованный СБ в дальнейшем будет расценено как компрометация карты по вине клиента. Т. е. в случае каких-либо сторонних операций, деньги клиенту не вернут.

Хотя тут на самом деле всё куда проще, вы можете проводить операции просто сверяя подписи и вас не должно волновать кто плотит, ибо если клиент не заметил пропажи карты и не заблокировал её, то это уже его проблеммы или страховой с которой договор по данному карточному продукту.

Вы ментов вызывайте в след раз и увидите как быстро пыл таких покупателей поугаснет)

и что произошло?

А что ни разу не было случая когда своих денег нет, а в магазин идти надо хозяин карты ну физически до магазина дойти не может и доверяет провести операцию вам.

вы правы почитайтте здесь