Интеграл, производное. Кто может дать развернутый ответ что это такое. Откуда их достали и зачем они?

Производная (а не ПРОИЗВОДНОЕ) функции - показатель бесконечно малого изменения этой функции на промежутке. С помощью производной, например, можно точно описывать процессы в прямом смысле слова непрерывно - фиксировать изменения через бесконечно малые промежутки времени. Не случайно почти все уравнения физики - дифференциальные (записанные через производные) . Строгое определение дается через предел - эт вам к учебнику высшей математики.

Интегрирование - обратная операция. Вроде объединения, суммирования множества бесконечно малых кусочков. Например, нужно вычислить точную длину кривой. Мы умеем точно мерить только прямые линии. Поэтому кривая разбивается на бесконечное множество прямых равных по длине отрезков, а интеграл - результат суммирования этих бесконечно малых длин. Интегралы бывают не только линейные, но и "площадевые" и "объёмные". У каждого вида интеграла есть точное определение и методы решения (производные решаются, в общем-то, однотипно) . Еще есть проблема, что любую производную можно подсчитать, а вот решить любой интеграл нельзя. Подробнее - учебник высшей математики.