Доказать что существует натуральное число, последние четыре цифры которого 1972 и которое делится на 1971.

Минимальный вариант:
11691972 = 5932*1971

На школьном уровне решить будет непросто.. .
Если последние четыре цифры 1972, то такое число можно записать в виде 10000n + 1972, где n - натуральное.
Осталось решить уравнение 10000n + 1972 = 1971k, где k также целое.
1971k - 10000n = 1972
В теории линейных диофантовых уравнений доказывается, что уравнение решается в целых числах если и только если НОД (1971, 10000) = 1, т. е. эти числа взаимно просты. Тут надо по алгоритму Евклида найти наименьший общий делитель и проверить, что он равен 1.
Но так мы найдем решение в целых числах, а не натуральных.
Далее, общее решение уравнения выглядит так: k = А + 10000t; n = B + 1971t, t - целое. Очевидно, можно выбрать такое достаточно большое t, что n > 0, что и требовалось доказать.
Ну, я просто пошел дальше и нашел сами числа.